[통계학] 표본 공간과 사건, 확률의 공리

 

 

 

표본공간과 사건

 

 

✔ 표본공간(Sample Space) : 시행에서 발생가능한 모든 결과들의 집합. 보통 $S$라고 표기.

 

 

✔ 사건(Event) : 시행에서 일어날 수 있는 결과로, 표본공간의 부분집합.

 

1. 전사건 : 시행에서 일어날 수 있는 모든 사건. 표본공간의 모든 원소를 포함한다.

 

2. 공사건 : 시행에서 일어날 수 없는 사건. 표본공간의 어떤 원소도 포함하지 않으며, 공사건의 여사건은 전사건이다.

 

3. 여사건 : 특정 사건이 발생하지 않을 사건. 표본공간 $S$의 사건 $A$가 일어나지 않을 사건은 $A^c$ 로 표기한다.

 

4. 합사건 : 어떤 시행에서 발생 가능한 두 사건이 있을 때, 두 사건 중 적어도 하나가 일어나는 사건. 사건 $A$와 $B$의 합사건은 $A \cup B$ 로 표기한다.

 

5. 곱사건 : 어떤 시행에서 발생 가능한 두 사건이 있을 때, 두 사건이 동시에 일어나는 사건. 사건 $A$와 $B$의 곱사건은 $A \cap B$ 로 표기한다.

 

6. 배반사건 : 어떤 시행에서 발생 가능한 두 사건이 있을 때, 두 사건이 동시에 일어나지 않는 사건. 즉, 사건 $A$와 $B$에 대하여 $A$가 일어나면 $B$가 일어나지 않고 $B$가 일어나면 $A$가 일어나지 않을 때 두 사건을 배반이라고 한다.

 

 

 

기본적인 확률 공식

 

✔ 순열

 

서로 다른 $n$개의 원소 중에서 $r$개를 뽑아 나열하는 방법의 수는

${}_n P _r = n(n-1)\times ... \times(n-r+1) = \frac{n!}{(n-r)!}$

 

 

✔ 조합

 

서로 다른 $n$개의 원소 중에서 $r$개를 선택하는 방법의 수는

${}_n C _r = \frac{{}_n P _r}{r!} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

 

 

 

 

확률의 기본 정리

 

1. $P(A^c) = 1-P(A)$

 

2. $A\subset B$ 이면 $P(A) \leq P(B)$

 

3. $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$

 

 

 

확률의 공리

 

1. 표본공간 $S$에 속하는 사건 $A$에 대하여 $0 \leq P(A) \leq 1$

 

2. 표본공간 $S$ 에 대하여

$P(S) = 1$

$P(\emptyset) = 0$

 

3. 표본공간 $S$의 사건열 $A_{1}, A_{2}, A_{3}, ...$ 이 상호배반이면 ( $\Leftrightarrow$ $i\neq j$  에 대하여 $A_{i}\cap A_{j} = \emptyset$ 이면)

$P(A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3} \cup ...)$ = $P(A_{1}) + P(A_{2}) + P(A_{3}) + ...$ = $\sum_{i=1}^{\infty}P(A_{i})$ 성립