[통계학] 결합확률분포, 주변확률분포, 조건부 확률분포, 확률변수의 독립 (사건의 독립과 비교)

 

결합확률분포 (Joint Probability Distribution)

 

✔ 결합확률분포

 

확률변수가 2개 이상일 때의 확률분포

 

 

✔ 이산형 결합확률분포

 

두 이산확률변수 $X$와 $Y$에 대하여 결합확률분포 $f_{X, Y}(x, y) = P(X = x, Y = y)$ 를 만족

 

 

✔ 결합확률질량함수 $f_{X,Y}(x,y)$의 성질

 

1. $f_{X,Y}(x, y) \geq 0$

 

2. $\sum_{모든 x}^{}\sum_{모든 y}^{}f_{X,Y}(x, y) = 1$

 

c.f. $f_{X,Y}(x,y)$를 만족하는 모든 순서쌍 $(x,y)$에 대하여 $P(X=x, Y=y)$를 모두 더하면 1

 

 

✔ 연속형 결합확률분포

 

두 연속확률변수 $X$와 $Y$에 대하여 결합확률분포 $f_{X, Y}(x, y)$가 $P[(x,y)\in A] = \int_{}^{}\int_{A}^{}f_{X,Y}(x, y)dx dy$ 을 만족 (단, $A$는 $x,y$ 평면 상의 임의의 영역)

 

 

✔ 결합확률밀도함수 $f_{X,Y}(x,y)$의 성질

 

1. $f_{X,Y}(x,y) \geq 0$

 

2. $\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x, y) dxdy = 1$

 

 

 

주변확률분포 (Marginal Probability Distribution)

 

✔ 주변확률분포

 

두 이산확률변수 $X$와 $Y$에 대하여 결합확률분포 $f_{X,Y}(x,y)$가 주어졌을 때 $X$와 $Y$ 각각의 주변확률분포 $f_{X}(x)$와 $f_{Y}(y)$를 구할 수 있다.

 

 

✔ 이산형 주변확률분포

 

1. $f_{X}(x) = \sum_{모든 y}^{}f_{X,Y}(x,y)$

 

2. $f_{Y}(y) = \sum_{모든 x}^{}f_{X,Y}(x,y)$

 

 

✔ 연속형 주변확률분포

 

1. $f_{X}(x) = \int_{-\infty}^{\infty}f_{X,Y}(x,y)dy$

 

2. $f_{Y}(y) = \int_{-\infty}^{\infty}f_{X,Y}(x,y)dx$

 

 

 

조건부 확률분포 (Conditional Probability Distribution)

 

✔ 조건부 확률분포

 

확률변수 $X=x$로 주어졌을 때 $Y|x$의 조건부 확률분포 $f(y|x) = \frac{f_{X,Y}(x, y)}{f_{X}(x)}$ (단, $f_{X}(x) > 0$ )

 

 

✔ 조건부 확률분포의 성질

 

조건부 확률분포도 전범위에 대하여 적분하면 1이다.

 

$\int_{-\infty}^{\infty}f(y|x)dy =1$

 

 

 

확률변수의 독립

 

✔ 확률변수의 독립

 

두 확률변수 $X$와 $Y$는 임의의 실구간 $A$와 $B$에 대하여

$P(X \in A, Y \in B) = P(X \in A)P(Y \in B)$ 이면 서로 독립이라고 한다.

 

c.f. 두 확률변수 $X$와 $Y$가 독립이면 임의의 실수 함수 $g(X)$와 $h(Y)$도 서로 독립이다.

 

 

✔ 독립확률변수의 필요충분조건

 

1. $f_{X,Y}(x,y) = f_{X}(x)f_{Y}(y)$

 

2. $M_{X,Y}(t_{1}, t_{2}) = M_{X}(t_{1})M_{Y}(t_{2})$

 

c.f. 사건의 독립과 비교 : 두 사건 $A$와 $B$에 대하여 $P(B|A) = P(B)$ 이거나 $P(A|B) =P(A)$ 이면 사건 $A$와 $B$는 독립이고 그렇지 않으면 종속이다. 또한 독립사건의 필요충분조건은 $P(A\cap B) = P(A)P(B)$ 이다.