[통계학] 조건부 확률, 독립과 종속, 전확률 공식, 베이즈 정리

 

 

조건부 확률

 

✔ 조건부 확률

 

한 사건이 일어났다는 전제 하에서 다른 사건이 일어날 확률

 

i.e. 사건 $A$가 발생했다는 전제 하에 사건 $B$가 일어날 조건부 확률은

 

$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ (단, $P(A) > 0$)

 

 

 

독립과 종속

 

✔ 독립 

 

두 사건 $A$와 $B$에 대하여 $P(B|A) = P(B)$ 이거나 $P(A|B) = P(A)$ 이면

 

두 사건 $A$와 $B$는 독립이고, 그렇지 않으면 종속이다.

 

 

✔ 독립의 필요 충분 조건

 

$P(A \cap B) = P(A)P(B)$

 

c.f. 확률의 곱셈정리 : $P(A \cap B) = P(B|A)P(A)$ = $P(A|B)P(B)$

 

 

 

전확률 공식

 

✔ 전확률 공식 

 

사건 $B_{1}, B_{2}, ... , B_{k}$ 가 표본공간 $S$를 분할하면

 

( $\Leftrightarrow$ $i \neq j$ 일 때 $B_{i} \cap B_{j} = \emptyset$ 이고 $B_{1} \cup B_{2} \cup ... \cup B_{k} = S$ 이면)

 

표본공간 $S$의 임의의 사건 $A$에 대하여

 

$P(A) = \sum_{i=1}^{k} P(B_{i})P(A|B_{i})$  (단, $P(B_{i}) > 0$)

 

 

 

베이즈 정리

 

✔ 베이즈 정리

 

사건 $B_{1}, B_{2}, ... , B_{k}$ 가 표본공간 $S$를 분할하면

 

( $\Leftrightarrow$ $i \neq j$ 일 때 $B_{i} \cap B_{j} = \emptyset$ 이고 $B_{1} \cup B_{2} \cup ... \cup B_{k} = S$ 이면)

 

표본공간 $S$의 임의의 사건 $A$에 대하여

 

$P(B_{j}|A) = \frac{P(B_{j})P(A|B_{j})}{\sum_{i=1}^{k}P(B_{i})P(A|B_{i})}$ (단, $P(B_{i}) > 0, P(A) > 0$ )